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Exercício 1:
A massa de uma pessoa é $70\ kg$. A aceleração da gravidade num local da Terra é $9,8\ m/s^2$ e na Lua, $1,6\ m/s^2$. Determine o peso da pessoa na Terra, na Lua e compare a massa da pessoa na Lua com a massa da pessoa na Terra.
Antes de iniciarmos com a resolução do problema, vamos relembrar a diferença entre massa e peso.
- Massa $(m)$: É a quantidade de matéria de um corpo. É invariável. Não importam em que ponto do universo o corpo esteja. Assim, se a massa é de $70\ kg$ na Terra, na Lua, Marte, ou em qualquer outro ponto do espaço a massa continuará sendo de $70\ kg$.
- Peso $(P)$: É a força com que a gravidade atrai essa massa. Como a gravidade muda de uma planeta para outro, o peso também muda.
A fórmula para calcular o peso é derivada da Segunda Lei de Newton:
$$ P = m \cdot g $$Onde:
- $P$ é o Peso (em Newtons $[N]$)
- $m$ é a Massa (em quilogramas $[kg]$)
- $g$ é a Aceleração da gravidade (em metros por segundo ao quadrado $[m/s^2]$)
Determinando o peso da pessoa na Terra
Dados fornecidos:
- Massa: $m=70\ kg$
- Gravidade na Terra: $g_T=9,8\ m/s^2$
Aplicando a fórmula:
$$ P_T = m \cdot g_T\\ \ \\ P_T = 70 \cdot 9,8\\ \ \\ P_T = 686\ N $$Assim, o peso da pessoa na Terra é de $686$ Newtons.
Determinando o peso da pessoa na Lua
Dados fornecidos:
- Massa: $70\ kg$
- Gravidade na Lua: $1,6\ m/s^2$
Aplicando a fórmula:
$$ P_L = m \cdot g_L\\ \ \\ P_L = 70 \cdot 1,6\\ \ \\ P_L = 112\ N $$O peso da pessoa na Lua é de $112$ Newtons.
Comparando as massas
As massas são iguais, tanto na Terra como na Lua, o que muda é o peso, em decorrência da gravidade.
Assim:
- Peso na Terra: $686\ N$
- Peso na Lua: $112\ N$
- Comparação das massas: A massa na Lua é idêntica à massa na Terra
Podemos comparar o peso dos corpos na Terra e na Lua:
$$ \frac{P_T}{P_L} = \frac{686}{112}\\ \ \\ \frac{P_T}{P_L} = 6,125\\ \ \\ P_T \approx 6\ P_L $$Assim, o peso de uma pessoa de massa igual a $70\ kg$ na Terra é igual à aproximadamente 6 vezes o peso dessa pessoa se estivesse na Lua.
Isso ocorre porque a razão entre as gravidades é aproximadamente 6:
$$ \frac{9,8}{1,6} = 6,125 $$Ou seja, a relação entre os pesos é a mesma relação entre as gravidades, já que a massa não muda.
Exercício 2:
Para o sistema esquematizado na imagem abaixo, determine a aceleração dos corpos e a tração no fio. Despreze os atritos e considere o fio e a polia ideais. Dados: $m_A = 4,0\ kg$, $m_B = 2,0\ kg$, $g = 10\ m/s^2$ e $\text{sen}(\theta) = 0,80$.
Vamos entender as forças que atuam em cada bloco. Como não há atrito e a polia e fios são ideais, a mesma força de tração $(T)$ atua nos dois blocos, puxando-os em direção à polia.
Bloco $A$:
- A força peso de $A$, $(P_A)$, puxa o bloco para baixo verticalmente
- A tração $(T)$ puxa o bloco para cima em direção à polia
Calculamos o peso:
$$ P_A = m_A \cdot g\\ \ \\ P_A = 4 \cdot 10\\ \ \\ P_A = 40\ N $$Bloco $B$:
- A tração $(T)$ puxa o bloco para cima seguindo sua inclinação
- A força peso de $B$, $(P_B)$, aponta verticalmente para baixo, mas precisamos da componente desse peso que tenta puxar o bloco rampa abaixo. Chamamos essa componente de $P_{Bx}$.
Para calcularmos $P_{Bx}$, utilizamos a fórmula:
$$ P_{Bx} = m_B \cdot g \cdot \text{sen}(\theta)\\ \ \\ P_{Bx} = 2 \cdot 10 \cdot 0,8\\ \ \\ P_{Bx} = 16\ N $$Agora, comparamos as forças:
- O bloco $A$ é puxado para baixo com uma força de $40\ N$
- O bloco $B$ tenta descer o plano inclinado com uma força de $16\ N$
Como $40\ N > 16\ N$, o bloco $A$ vai descer e puxar o bloco $B$ para cima através da rampa.
Para cada bloco, a força resultante será a força a favor do movimento, menos a força contra o movimento.
Para o bloco $A$ descendo:
$$ P_A - T = m_A \cdot a\\ \ \\ 40 - T = 4 \cdot a \tag{1} $$Para o bloco $B$ subindo
$$ T - P_{Bx} = m_B \cdot a\\ \ \\ T-16 = 2 a \tag{2} $$Isolamos $T$ da relação $(2)$ obtendo:
$$ T = 2 a + 16 $$E agora substituímos $T$ na equação $(1)$:
$$ 40 - (2 a +16) = 4 a\\ \ \\ 40 - 2 a - 16 = 4 a\\ \ \\ 24 = 4a + 2a\\ \ \\ 24 = 6a\\ \ \\ a = \frac{24}{6}\\ \ \\ a = 4\ m/s^2 $$A aceleração dos corpos é de $4\ m/s^2$.
Para encontrarmos a tração $T$, basta substituirmos o valor da aceleração em qualquer das duas equações anteriores. Vamos utilizar a equação $(2)$:
$$ T = 2a + 16\\ \ \\ T = 2\cdot 4 + 16\\ \ \\ T = 8 + 16\\ \ \\ T = 24\ N $$Assim, a aceleração dos corpos é de $4\ m/s^2$ e a tração no fio é de $24\ N$.
Exercício 3:
Dois corpos cujos pesos são de $5\ N$ e $20\ N$ estão suspensos no laboratório, como mostra a imagem abaixo. Determine as trações nos fios $AB$ e $CD$. Considere os fios ideias.
Como os blocos estão suspensos e em equilíbrio estático, a força resultante em cada ponto deve ser igual a zero. Ou seja, as forças que puxam para cima devem equilibrar as forças que puxam para baixo.
Bloco inferior (bloco 2):
Vamos descobrir a tração no fio $CD$, isolando o bloco inferior. Assim, descobrimos as forças que atuam no bloco:
- O seu próprio peso o puxa para baixo: $P_2 = 5\ N$
- O fio $CD$ o puxa para cima com uma força de tração $T_{CD}$
Como o bloco está em equilíbrio:
$$ T_{CD} = P_2\\ \ \\ T_{CD} = 5\ N $$Portanto, a tração no fio $CD$ é de $5\ N$. Este fio só precisa sustentar o bloco 2.
Bloco superior (bloco 1):
Para descobrir a tração no fio $AB$, vamos analisar as forças atuando no bloco:
- A força de tração do fio $AB$ puxa o bloco para cima com uma força $T_{AB}$
- O seu próprio peso o puxa para baixo: $P_1 = 20\ N$
- O fio $CD$ também está conectado na parte inferior do bloco 1, transmitindo a força de tração $T_{CD}$ para baixo com intensidade de $5\ N$
Para que o bloco fique em equilíbrio, a força que aponta para cima deve ser igual à soma das forças que apontam para baixo:
$$ T_{AB} = P_1 + T_{CD}\\ \ \\ T_{AB} = 20 + 5\\ \ \\ T_{AB} = 25\ N $$De uma maneira mais direta, podemos pensar que o fio $AB$ está sustentando todo o conjunto que está pendurado abaixo dele, logo, ele suporta os pesos do bloco 1 e do bloco 2: $20+5=25\ N$.
Exercício 4:
Na figura abaixo, os fios e as polias são de massas desprezíveis. O corpo $A$ tem peso $P = 50\ N$. Determine as intensidades das forças de tração $T_1$ e $T_2$, supondo o sistema em equilíbrio.
Vamos analisar o sistema de baixo para cima, analisando o que está acontecendo com cada polia. Como o sistema está em equilíbrio, a soma das forças para cima deve ser igual à soma das forças para baixo em cada ponto.
Bloco $A$ e a polia inferior
Vamos analisar o bloco $A$ e a polia que está conectada diretamente a ele:
- O bloco $A$ puxa o centro da polia para baixo com uma força peso $P=50\ N$
- Essa polia é sustentada por um único fio que passa por baixo dela. Por um lado esse fio está preso no teto, e pelo outro sobe em direção à outra polia. A tração nesse fio é $T_2$
- Como o mesmo fio passa pelos dois lados da polia inferior, ele exerce duas forças para cima, uma em cada lado. Assim, se o fio exerce uma tração $T_2$ de um lado da polia, também vai exercer uma tração $T_2$ do outro lado.
Para que essa polia fique em equilíbrio, as duas forças para cima devem equilibrar o peso para baixo:
$$ T_2 + T_2 = P\\ \ \\ 2T_2 = 50\\ \ \\ T_2 =\frac{50}{2}\\ \ \\ T_2 = 25\ N $$Portanto, a intensidade da tração no fio 2 é $T_2=25\ N$.
Polia superior
Agora que sabemos a intensidade de $T_2$, vamos analisar a polia superior:
- O mesmo fio que gera a tração $T_2$ está conectado ao centro da polia menor. Portanto, ele puxa essa polia para baixo com a força que acabamos de calcular $T_2=25\ N$
- Essa polia menor é sustentada por um outro fio que passa por baixo dela com tração igual a $T_1$
- Analogamente ao que aconteceu na polia inferior, esse fio atua dos dois lados, exercendo duas forças para cima
Para manter o equilíbrio na polia menor, temos:
$$ T_1+T_1 = T_2\\ \ \\ 2T_1 = 25\\ \ \\ T_1 = \frac{25}{2}\\ \ \\ T_1 = 12,5\ N $$Portanto, a intensidade da tração no fio 1 é $T_1=12,5\ N$.
Assim, as intensidades das trações no fios são $T_1=12,5\ N$ e $T_2=25\ N$.
Cada polia móvel adicionada ao sistema reduz o esforço pela metade. Como tínhamos duas polias móveis sustentando o peso de $50\ N$ do bloco $A$:
- A primeira polia dividiu o esforço por 2, resultando $25\ N$.
- A segunda polia dividiu novamente por 2, resultando em $12,5\ N$
Exercício 5:
Uma fonte luminosa está a $30\ cm$ de uma lente convergente de distância focal de $20\ cm$. Determine a que distância da lente deve ser colocado um anteparo a fim de se obter sobre ele a imagem real nítida do objeto. Classifique a imagem formada e calcule o aumento linear transversal da imagem.
Vamos organizar os dados fornecidos:
- Distância do objeto à lente $(p):\ +30\ cm$. Em problemas de lentes que aparecem no Ensino Médio, quase todos os objetos isolados são reais, logo, usamos $p>0$
- Distância focal da lente $(f):\ +20\ cm$. Usamos sinal positivo $(+)$ porque a lente é convergente. Se fosse divergente, usaríamos sinal negativo $(-)$
- Distância da imagem até a lente $(p^\prime)$: é o que queremos descobrir (posição do anteparo)
Posição do anteparo
Para que a imagem seja projetada de forma nítida no anteparo, o anteparo deve ser colocado exatamente onde a imagem se forma. Usamos a Equação de Gauss:
$$ \frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p^\prime} $$Substituímos os valores fornecidos:
$$ \frac{1}{20} = \frac{1}{30} + \frac{1}{p^\prime} $$Vamos isolar $p^\prime$:
$$ \frac{1}{p^\prime} = \frac{1}{20}-\frac{1}{30}\\ \ \\ \frac{1}{p^\prime} = \frac{3-2}{60}\\ \ \\ \frac{1}{p^\prime} = \frac{1}{60}\\ \ \\ p^\prime = 60\ cm $$Logo, o anteparo deve ser colocado a $60\ cm$ de distância da lente.
Aumento linear transversal
O aumento linear monstra quantas vezes a imagem é maior ou menor que o objeto e se ela está de cabeça para baixo. Para isso, usamos a fórmula:
$$ A = -\frac{p^\prime}{p} $$Substituindo os valores que temos: $p^\prime = 60$ e $p=30$, obtemos:
$$ A = -\frac{60}{30}\\ \ \\ A = -2 $$O aumento linear transversal é $-2$.
Classificação da imagem
A partir dos resultados obtidos, podemos classificar a imagem como:
- Real: uma vez que $p^\prime > 0$. Toda imagem que pode ser projetada em um anteparo é real
- Invertida: o sinal negativo no aumento linear $(A=-2)$ indica que a imagem está de cabeça para baixo
- Maior: O valor absoluto do aumento linear é maior que 1, já que $|A|=2$, o que significa que a imagem tem o dobro do tamanho do objeto
Exercício 6:
Um corpo de massa $m=5,0\ kg$ é puxado horizontalmente sobre uma mesa por uma força $F$ de intensidade $15\ N$, conforme mostra a imagem abaixo. O coeficiente de atrito entre o corpo e a mesa é $\mu = 0,20$. Determine a aceleração do corpo. Considere $g=10\ m/s^2$.
Vamos analisar as forças que estão atuando no bloco que está sendo puxado sobre a mesa:
Força peso $(P)$: puxando o bloco verticalmente para baixo devido a ação da gravidade:
$$ P = m \cdot g\\ \ \\ P = 5 \cdot 10\\ \ \\ P = 50\ N $$Força normal $(N)$: é a força de reação da mesa, de mesma intensidade que a força peso, mas no sentido contrário, empurrando o bloco verticalmente para cima. Como o bloco está teoricamente em uma superfície plana e horizontal, as duas forças se anulam:
$$ P = N = 50\ N $$Força de atrito $(F_{at})$: á a força que atua na horizontal no sentido oposto ao movimento (ou à intensão do movimento) do bloco. A fórmula para calcular a força de atrito é dada pelo produto entre a força normal e pelo coeficiente de atrito:
$$ F_{at} = \mu \cdot N $$A força de atrito foi dada pelo problema $\mu = 0,2$ e a força normal $N= 50\ N$:
$$ F_{at} = 0,2 \cdot 50\\ \ \\ F_{at} = 10\ N $$Isso significa que a força $F$ puxa o bloco para a direita com um $15\ N$ e o atrito tenta segurá-lo com $10\ N$.
A força resultante $(F_{res})$ na horizontal será a força do movimento $(F)$ menos a força de atrito $(F_{at})$:
$$ F_{res} = F - F_{at}\\ \ \\ F_{res} = 15 - 10\\ \ \\ F_{res} = 5\ N $$A aceleração $(a)$ é calculada aplicando a Segunda Lei de Newton:
$$ F = m \cdot a $$Como já sabemos que a força resultante pelo movimento do bloco é de $5\ N$, e que a massa do bloco é de $5,0\ kg$, podemos aplicar na fórmula:
$$ F = m \cdot a\\ \ \\ 5 = 5 \cdot a\\ \ \\ a = \frac{5}{5}\\ \ \\ a = 1\ m/s^2 $$Assim, a aceleração do corpo é de $1\ m/s^2$.
Exercício 7:
Uma partícula descreve um movimento circular uniforme com velocidade escalar $v=5,0\ m/s$. Sendo $R=2,0\ m$ o raio da circunferência. Determine o módulo da aceleração centrípeta.
Este é um problema sobre Movimento Circular Uniforme (MCU). A partícula se move descrevendo uma trajetória circular a uma velocidade constante. Apesar de a velocidade não variar, a direção e o sentido do vetor velocidade mudam a cada instante para que o corpo consiga seguir a curva circular. Quem faz essa mudança de direção acontecer é uma força resultante dirigida para o centro da trajetória. A aceleração produzida por essa força é chamada de Aceleração Centrípeta $(a_{cp})$, dada por:
$$ a_c = \frac{v^2}{R} $$Onde:
- $a_{cp}$ é a aceleração centrípeta, em $m/s^2$
- $v$ é a velocidade escalar, em $m/s$
- $R$ é o raio da circunferência, em $m$
Substituímos esses valores na fórmula, obtendo:
$$ a_{cp} = \frac{v^2}{R}\\ \ \\ a_{cp} = \frac{5^2}{2}\\ \ \\ a_{cp} = \frac{25}{2}\\ \ \\ a_{cp} = 12,5\ m/s^2 $$Assim, a aceleração centrípeta vale $12,5\ m/s^2$.
Exercício 8:
Duas rodas tangenciam-se num ponto. Colocando-se uma delas a girar, esta transmite movimento à segunda. Admite-se não haver escorregamento no ponto de tangência e os raios das rodas são $R_A=r$ e $R_B=3r$. Determine a relação entre as velocidades angulares ($\omega_A$ e $\omega_B$) e entre as frequências ($f_A$ e $f_B$).
Como as rodas (polias, engrenagens, ...) possuem um contato direto, e não há escorregamento no ponto de tangência, a velocidade linear (ou escalar) das duas rodas nesse ponto é a mesma:
$$ v_A = v_B $$Relação entre as velocidades angulares:
A velocidade linear $(v)$ se relaciona com a velocidade angular $(\omega)$ através do raio $(R)$ pela fórmula:
$$ v = \omega \cdot R $$Substituindo essa relação na igualdade $v_a = v_B$, obtemos:
$$ v_A = v_B\\ \ \\ \omega_A \cdot R_A = \omega_B \cdot R_B $$Os raios das rodas foram fornecidos como $R_A=r$ e $R_B=3r$. Substituindo esses valores, obtemos:
$$ \omega_A \cdot R_A = \omega_B \cdot R_B\\ \ \\ \omega_A \cdot r = \omega_B \cdot 3r\\ \ \\ \frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{3r}{r}\\ \ \\ \frac{\omega_A}{\omega_B} = 3 $$Ou ainda:
$$ \omega_A = 3\ \omega_B $$O que quer dizer que, a velocidade angular da roda $A$ é o triplo da velocidade angular da roda $B$.
Relação entre as frequências:
A velocidade angular $(\omega)$ está diretamente ligada à frequência de rotação $(f)$ e é dada pela fórmula:
$$ \omega = 2\pi \cdot f $$Substituindo essa relação em $\omega_A = 3\ \omega_B$, obtemos:
$$ \omega_A = 3\ \omega_B\\ \ \\ 2\pi \cdot f_A = 3\big(2\pi \cdot f_B\big)\\ \ \\ \frac{2\pi \cdot f_A}{2\pi \cdot f_B} = 3\\ \ \\ \frac{f_A}{f_B} = 3 $$Ou ainda:
$$ f_A = 3\ f_B $$O que quer dizer que a frequência da roda $A$ é o triplo da frequência da roda $B$.
Assim, podemos concluir que a roda $A$ é menor que a roda $B$, pois $R_A=r$ e $R_B=3r$. Como a roda $B$ tem o triplo do raio de $A$, para que as duas tenham a mesma velocidade linear no ponto de tangência, a roda menor $(A)$ precisar girar 3 vezes mais rápido que a roda maior $(B)$. Por isso a frequência e a velocidade angular de $A$ são o triplo da $B$.
Exercício 9:
Uma força $F$ atua em um corpo na mesma direção e no mesmo sentido em que ocorre o deslocamento. O gráfico da intensidade da força $F$ em função do espaço $s$ está representado abaixo. Determine o trabalho da força $F$ quando o corpo sofre um deslocamento de $s=0$ para $s=10\ m$ e de $s=10\ m$ para $s=20\ m$.
O trabalho $W$ realizado por uma força $F$ mede a energia transferida para um corpo ao longo de um deslocamento $d$.
Uma forma simples de entender através de um gráfico $F \times s$ é que o trabalho $W$ é numericamente igual à área sob a curva. Ou seja, basta calcularmos a área entre a curva e o eixo horizontal dentro dos limites solicitados que obteremos o trabalho.
Trabalho de $s=0$ até $s=10\ m$:
Analisando o gráfico no intervalo de 0 a 10 metros, a linha vermelha é constante, pois a força $F$ permanece constante (horizontal) no decorrer do deslocamento de 0 a 10 metros. A forma geométrica formada é um retângulo:
- Base $(b)$: de 0 a 10. Logo, $b = 10\ m$
- Altura $(h)$: de a a 10. Logo, $h=10\ N$
A fórmula para a área do retângulo é:
$$ A_{ret} = b \cdot h\\ \ \\ W_1 = A_{ret}\\ \ \\ W_1 = 10 \cdot 10\\ \ \\ W_1 = 100\ J $$Assim, o trabalho realizado no primeiro trecho é de 100 Joules.
Trabalho de $s=10\ m$ até $s=20\ m$:
Analisando o gráfico no intervalo de 10 a 20 metros, a linha vermelha é crescente. A força $F$ varia de 10 para 20 $N$ no decorrer do deslocamento de 0 a 10 metros. A forma geométrica formada é um trapézio:
- Base maior $(B)$: é a altura do gráfico no ponto $s=20$. Logo, $B=20\ N$
- Base menor $(b)$: é a altura do gráfico no ponto $s=10$. Logo, $b=10\ N$
- Altura $(h)$: é a largura do intervalo de 10 a 20. Logo $h=20-10=10\ m$
A fórmula para a área do trapézio é:
$$ A_{trap} = \frac{(B+b)\cdot h}{2}\\ \ \\ W_2 = A_{trap}\\ \ \\ W_2 = \frac{(20 + 10)\cdot 10}{2}\\ \ \\ W_2 = \frac{30 \cdot 10}{2}\\ \ \\ W_2 = \frac{300}{2}\\ \ \\ W_2 = 150\ J $$Assim, o trabalho realizado no segundo trecho é de 150 Joules.
O trabalho total realizado pela força $F$ ao longo de todo o deslocamento, de 0 a 20 metros, é a soma dos trabalhos dos dois trechos:
$$ W = W_1+W_2\\ \ \\ W = 100+150\\ \ \\ W=250\ J $$Exercício 10:
Um motor é utilizado para elevar um bloco de massa $m=500\ kg$ a uma altura de $h=3,0\ m$ em um intervalo de tempo de $2,0\ s$, em movimento retilíneo uniforme. Sendo $g=10\ m/s^2$, encontre a potência teórica do motor.
A potência mede a quantidade de trabalho realizado por unidade de tempo, ou seja, o quão rápido o motor consegue realizar determinada tarefa.
Sendo assim, precisamos primeiro determinar o trabalho realizado pelo motor para depois encontrar sua potência.
Cálculo do trabalho:
O problema diz que o bloco sobe em movimento retilíneo uniforme $(MRU)$, ou seja, a velocidade é constante. Assim, a força que o motor faz para cima é igual à força peso que puxa o bloco para baixo.
O trabalho necessário para elevar verticalmente um corpo com velocidade constante é equivalente ao trabalho da força peso:
$$ W = m \cdot g \cdot h $$Substituindo os valores fornecidos pelo problema:
$$ W = 500 \cdot 10 \cdot 3,0\\ \ \\ W = 15.000\ J $$O motor realizou um trabalho de 15.000 Joules para levar o bloco até o topo.
Cálculo da potência do motor:
Para calcularmos a potência $P$ do motor, usamos a fórmula:
$$ P = \frac{W}{\Delta t} $$Substituindo o trabalho que encontramos de $15.000\ J$ e o tempo gasto de $2,0\ s$, obtemos:
$$ P = \frac{15.000}{2}\\ \ \\ P = 7.500\ W $$Assim, a potência nominal do motor é de $7.500\ W$, ou $7,5\ kW$.
Resolução alternativa:
Se o movimento é uniforme, então podemos resolver o problema de uma forma bem mais rápida usando a fórmula:
$$ \text{Potência} = \text{Força} \cdot \text{Velocidade}\\ \ \\ P = F \cdot v $$Temos que:
- A força é o peso: $F=500 \cdot 10 = 5.000\ N$
- A velocidade é a razão da distância pelo tempo: $v=\dfrac{3,0}{2,0} = 1,5\ m/s$
Assim:
$$ P = 5.000 \cdot 1,5\\ \ \\ P = 7.500\ W $$Que é o mesmo resultado.
Exercício 11:
Uma pedra é lançada obliquamente no vácuo com velocidade inicial de módulo $v_0 = 100\ m/s$, segundo ângulo de tiro $\theta$, com $\text{sen}(\theta)=0,60$ e $\text{cos}(\theta)= 0,80$. Considere $g = 10\ m/s^2$. Determine o tempo de subida da pedra, a altura máxima atingida e o seu alcance horizontal.
O lançamento oblíquo é a combinação de dois movimentos independentes acontecendo ao mesmo tempo:
Na horizontal (eixo $x$): O corpo se move em Movimento Retilíneo Uniforme (MRU), ou seja, com velocidade constante, pois não há nenhuma força atrapalhando ou empurrando.
Na vertical (eixo $y$): O corpo se move em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV), sofrendo a ação da aceleração da gravidade $(g)$, exatamente como se fosse um lançamento vertical para cima.
Vamos resolver esse problema em 4 etapas para ficar mais fácil de entender.
Etapa 1: Decompor a velocidade inicial $(v_0)$
Vamos decompor a velocidade inicial $(v_0)$ em suas componentes horizontal $(v_{0x})$ e vertical $(v_{0y})$.
Velocidade inicial na horizontal $(v_{0x})$:
$$ v_{0x} = v_0 \cdot \text{cos}(\theta)\\ \ \\ v_{0x} = 100 \cdot 0,8\\ \ \\ v_{0x} = 80\ m/s $$Velocidade inicial na vertical $(v_{0y})$:
$$ v_{0y} = v_0 \cdot \text{sen}(\theta)\\ \ \\ v_{0y} = 100 \cdot 0,6\\ \ \\ v_{0y} = 60\ m/s $$Etapa 2: Determinar o tempo de subida $(t_s)$
Vamos agora calcular o tempo em que a pedra leva para subir olhando apenas para o movimento vertical (eixo $y$).
Quando a pedra atinge o ponto mais alto da trajetória, ela para de subir e inicia sua queda. Isso significa que a sua velocidade vertical $(v_y)$ nesse ponto é igual a zero: $v_y=0$.
Usamos a função horária da velocidade para o MRUV. Temos que levar em conta a gravidade que atua contra o movimento de subida, por isso o sinal negativo:
$$ v_y = v_{0y} - g \cdot t_s\\ \ \\ 0 = 60 - 10 \cdot t_s\\ \ \\ 10\ t_s = 60\\ \ \\ t_s = \frac{60}{10}\\ \ \\ t_s = 6\ s $$Assim, o tempo de subida da pedra é de 6 segundos.
Etapa 3: Determinar a altura máxima $(H_{max})$
Para descobrirmos a altura máxima que a pedra atinge após esses 6 segundos, temos que olhar para o movimento vertical (eixo $y$). Utilizamos a Equação de Torricelli adaptada para o movimento vertical.
$$ v_y^2 = v_{0y}^2 - 2\cdot g\cdot H_{max} $$Sabemos que no ponto máximo a velocidade é zero $(v_y=0)$:
$$ 0^2 = 60^2 - 2\cdot 10 \cdot H_{max}\\ \ \\ 0 = 3600 - 20\ H_{max}\\ \ \\ 20\ H_{max} = 3600\\ \ \\ H_{max} = \frac{3600}{20}\\ \ \\ H_{max} = 180\ m $$Assim, a altura máxima atingida é de 180 metros.
Etapa 4: Determinar o alcance horizontal $(A)$
O alcance $A$ é a distância que a pedra viajou na horizontal (eixo $x$) até tocar o chão novamente.
Para isso, precisamos saber o tempo total em que a pedra se desloca no ar. Como o lançamento ocorre no vácuo e o ponto de chegada está na mesma altura do ponto de partida, o tempo de descida é igual ao tempo de subida. Assim:
$$ t = 2\ t_s\\ \ \\ t = 2\cdot 6\\ \ \\ t = 12\ s $$Agora, usamos a fórmula do movimento horizontal (MRU), onde a velocidade $v_{0x}$ é constante:
$$ A = v_{0x} \cdot t\\ \ \\ A = 80 \cdot 12\\ \ \\ A = 960\ m $$Assim, o alcance horizontal da pedra é de 960 metros.
Exercício 12:
Entre dois trilhos consecutivos de uma via férrea, deixa-se um espaço apenas suficiente para facultar livremente a dilatação térmica dos trilhos de $20^\circ C$ até a temperatura de $50^\circ C$. O coeficiente de dilatação térmica linear do material dos trilhos é $1,0 \times 10^{-5}\ ^\circ C^{-1}$. Cada trilho mede $20\ m$ a $20^\circ C$. Determine o espaço entre dois trilhos consecutivos na temperatura de $20^\circ C$.
Temos que entender que o espaço deixado entre os trilhos a $20 ^\circ C$ deve ser igual ao tamanho que um trilho vai aumentar quando a temperatura subir até $50^\circ C$. Se o espaço for menor que essa dilatação, os trilhos vão se chocar e possivelmente entortar. Se for maior, a freta fica maior do que o necessário.
A fórmula para calcular a variação de comprimento $(\Delta L)$ é dada por:
$$ \Delta L = L_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T $$Onde:
- $\Delta L$ é a variação de comprimento do trilho
- $L_0$ é o comprimento inicial do trilho
- $\alpha$ é o coeficiente de dilatação linear do material
- $\Delta T$ é a variação de temperatura (final menos inicial)
Vamos organizar os dados do problema para calcularmos a variação de temperatura. Temos que:
- Comprimento inicial: $L_0 = 20\ m$
- Coeficiente de dilatação: $\alpha = 1,0 \times 10^{-5}\ ^\circ C_{-1}$
- Temperatura inicial: $T_0=20 ^\circ C$
- Temperatura final: $T_f = 50 ^\circ C$
Agora, vamos calcular a dilatação do trilho:
$$ \Delta L = L_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T\\ \ \\ \Delta L = 20 \cdot \big(1,0 \times 10^{-5} \big) \cdot 30\\ \ \\ \Delta L = 600 \times 10^{-5}\\ \ \\ \Delta L = 0,006\ m $$Assim, o espaço entre dois trilhos consecutivos na temperatura de $20^\circ C$ deve ser de $0,006\ m$ ou seja, $6\ mm$.
Exercício 13:
Misturam-se duas quantidades de massas $m_1$ e $m_2$ de uma mesma substância, respectivamente a temperaturas $t_1$ e $t_2$. Compare as temperaturas finais de equilíbrio da mistura nos casos em que $m_1$ = $m_2$ e quando $m_1 \neq m_2$.
Quando misturamos duas massas de uma mesma substância, o calor trocado entre elas obedece à conservação de energia: O calor cedido pela parte mais quente é igual ao calor recebido pela parte mais fria. Podemos representar com a expressão:
$$ Q_{cedido} + Q_{recebido} = 0 $$A quantidade de calor sensível é calculada por:
$$ Q = m \cdot c \cdot \Delta t $$Onde $c$ é o calor específico e é o mesmo para as duas massas, pois são a mesma substância. Logo, $c$ se cancela. Assim:
$$ m_1 \Delta t_1 + m_2 \Delta t_2 = 0\\ \ \\ m_1 (T_f - t_1) + m_2 (T_f - t_2) = 0 $$Vamos agora analisar e comparar os dois casos solicitados no problema.
Massas iguais: $m_1=m_2 = m$
Se as massas são idênticas, podemos substituir ambas por $m$ na equação acima:
$$ m (T_f - t_1) + m (T_f - t_2) = 0 $$Dividimos ambos os membros da equação por $m$:
$$ T_f - t_1 + T_f - t_2 = 0\\ \ \\ 2 T_f - t_1 - t_2 = 0\\ \ \\ 2 T_f = t_1+t_2\\ \ \\ T_f = \frac{t_1+t_2}{2} $$Assim, quando misturamos massas iguais da mesma substância, a temperatura final $T_f$ de equilíbrio será a média aritmética entre as duas temperaturas.
Massas diferentes: $m_1 \neq m_2$
Se as massas são diferentes, não podemos cancelá-las e temos que manter as massas $m_1$ e $m_2$. Seguimos isolando $T_f$:
$$ m_1 (T_f - t_1) + m_2 (T_f - t_2) = 0\\ \ \\ m_1 T_f - m_1 t_1 + m_2 T_f - m_2 t_2 = 0\\ \ \\ T_f (m_1 + m_2) = m_1 t_1 + m_2 t_2\\ \ \\ T_f = \frac{m_1 t_1 + m_2 t_2}{m_1 + m_2} $$Se as massas são diferentes, a temperatura final $T_f$ de equilíbrio será a média ponderada das temperaturas iniciais e os pesos são as respectivas massas.
Exercício 14
Uma bala de chumbo, movendo-se à velocidade de $300\ m/s$, atinge um muro e fica incrustada nele. Supondo que metade da energia cinética da bala, transformada em energia térmica, permaneça na bala, determine a variação de temperatura que ela sofre. O calor específico do chumbo é $0,030\ cal/g ^\circ C$ e $1\ cal = 4,18\ J$.
Vamos organizar os dados fornecidos pelo problema:
- Velocidade inicial da bala: $v=300\ m/s$
- Calor específico do chumbo: $c=0,030\ cal/g^\circ C$
- Relação de energia: $1\ cal = 4,18\ J$
- Metade da energia cinética se transforma em calor
Como a velocidade está no SI $(m/s)$, a energia mecânica tem que ser em Joules $(J)$ e a massa em quilogramas $(kg)$. Temos que transformar o calor específico no SI. Fazemos:
$$ 0,030 \cdot 4,18 = 0,1254\ J/g ^\circ C = 125,4\ J/kg ^\circ C $$Energia cinética da bala
A energia que a bala possuía antes de colidir é a Energia Cinética, dada por:
$$ E_c = \frac{m \cdot v^2}{2} $$Como não sabemos a massa da bala, vamos deixá-la indicada como $m$ (não confundir com a unidade de medida de metro):
$$ E_c = \frac{m \cdot 300^2}{2}\\ \ \\ E_c = \frac{m \cdot 90.000}{2}\\ \ \\ E_c = 45.000 \cdot m $$Quantidade de calor que ficou na bala
Durante o impacto, a energia cinética da bala é convertida em energia térmica. O enunciado informa que apenas metade dessa energia permanece na própria bala. Assim, a quantidade de calor $Q$ recebida pela bala é:
$$ Q = \frac{E_c}{2}\\ \ \\ Q = \frac{45.000 \cdot m}{2}\\ \ \\ Q = 22.500 \cdot m $$Variação de temperatura
Agora que já sabemos o calor que a bala absorveu, substituímos na fórmula do calor sensível:
$$ Q = m \cdot c \cdot \Delta T\\ \ \\ 22.500 \cdot m = m \cdot 125,4 \cdot \Delta T\\ \ \\ \Delta T = \frac{22.500 \cdot m}{125,4 \cdot m}\\ \ \\ \Delta T = \frac{22.500}{125,4}\\ \ \\ \Delta T \approx 179,4 ^\circ C $$Observe que a massa aparece tanto na energia cinética quanto na equação do calor sensível. Por isso ela se simplifica, tornando a variação de temperatura independente da massa da bala
Assim, a variação de temperatura sofrida pela bala foi de aproximadamente $179,4 ^\circ C$.
Exercício 15:
Um sistema recebe $400$ calorias de uma fonte térmica, enquanto, ao mesmo tempo, é realizado sobre o sistema um trabalho equivalente a $328\ J$. Determine a variação de energia interna do sistema. Adote $1\ cal = 4,18\ J$.
Para resolver esse problema, utilizamos a primeira lei da termodinâmica:
$$ \Delta U = Q - W $$Onde:
- $\Delta U$ é a variação da energia interna
- $Q$ é a quantidade de calor trocada
- $W$ é o trabalho realizado
Nesta convenção, W é positivo quando o sistema realiza trabalho sobre o meio externo e negativo quando o meio externo realiza trabalho sobre o sistema.
Transformação de calorias para joules
Iniciamos transformando calorias em joules:
$$ Q = 400 \cdot 4,18\\ \ \\ Q = 1.672\ J $$O sinal de $Q$ é positivo porque o sistema está recebendo calor da fonte térmica. Se estivesse perdendo calor, seria negativo.
Sinal do trabalho $W$
Como o trabalho foi realizado sobre o sistema, o meio externo está transferindo energia para ele na forma de trabalho, aumentando sua energia interna. Assim, o trabalho entra na fórmula com o sinal negativo:
$$ W = - 328\ J $$Cálculo da variação de energia interna
Agora que temos os valores e sinais corretos, aplicamos na fórmula:
$$ \Delta U = Q - W\\ \ \\ \Delta U = 1.672 - (-328)\\ \ \\ \Delta U = 1.672 + 328\\ \ \\ \Delta U = 2.000\ J $$Assim, a variação de energia interna do sistema foi positiva, tendo um aumento de $2.000\ J$.
Referências:
Esta lista de exercícios foi cedida por uma aluna do Terceiro Ano do Ensino Médio, estudante do Colégio Adélia Camargo Corrêa em Guarujá, SP
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